Question

在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB+BD=AC．

Answer 1

分析1：因为∠B=2∠C，所以AC＞AB，可以在AC上取一点E，使得AB=AE，构造△ABD≌△AED，把AB边转移到AE上，BD转移到DE上，要证AB+BD=AC．即可转化为证AE+BD=AE+EC，即证明BD=EC．

　　证明：在AC上取一点E，使得AB=AE，连结DE．

　　在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠DAE，AD=AD，

　　∴△ABD≌△AED（SAS）．

　　∴ BD=DE，∠B=∠AED．

　　又∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C，

　　∴ ∠EDC=∠C．

　　∴ ED=EC．

　　∴ AB+BD=AC．

分析2：因为∠B=2∠C，所以AB＜AC，可以在AB的延长线上取一点E，使得AE=AC，构造△AED≌△ACD，把AC边转移到AE上，DC转移到DE上，要证AB+BD=AC．即可转化为证AB+BD=AB+BE，即证明BD=BE．

　　证明：在AB的延长线上取一点E，使得AC=AE，连结DE．

在△AED和△ACD中，AE=AC，∠BAD=∠DAC，AD=AD，

　　∴ △AED≌△ACD（SAS）．∴∠C=∠E．

　　又∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠BDE，

　　∴ ∠E=∠BDE．∴ BE=BD．

　　∴ AB+BD=ＡE＝AC．

分析3：若延长DB到点E，使得AB=BE，有AB+BD=ED，只要证出ED=AC即可．

　　证明：延长DB到点E，使得AB=BE，连结AE，则有∠EAB=∠E，

∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E．

　　又∠ABC=2∠C， ∴ ∠E＝∠C． ∴ AE=AC．

　　又∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠E+∠DAC=∠C+ ∠DAC=∠ADE，∴ AE=DE．

　　∴ AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC．