Question

若关于x的方程2^(2x)+a(2^x)+a+1=0有实根,则实数a的取值范围是____怎么做的?? 刚刚打错

Answer 1

令m=2^x>0
则m^2+am+a+1=0
则方程要有正跟

若只有一个根
m^2+am+a+1=(m+a/2)^2-a^2/4+a+1=0
只有一个正根
则应该凑成完全平方
所以-a^2/4+a+1=0，x=-a/2>0
a<0
a^2-4a-4=0
a=2-2√2

若有两个根
判别式=a^2-4(a+1)=a^2-4a-4>0
a<2-2√2,a>2+2√2
m=[-a±√(a^2-4a-4)]/2
则只要大的根大于0即可
[-a+√(a^2-4a-4)]/2>0
-a+√(a^2-4a-4)>0
√(a^2-4a-4)>a
若a<2-2√2<0
左边大于0
所以不等式成立
若a>2+2√2>0
√(a^2-4a-4)>a>0
两边平方
a^2-4a-4>a^2
-4a-4>0
a<-1,和a>2+2√2矛盾
所以a<2-2√2

综上a≤2-2√2