Question

（2013•湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、

C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，-5）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x-3）2+4，
将A（0，-5）代入求得：a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-3）2+4=-x2+6x-5．

（3）存在．理由如下：
有两种情况：
（I）如答图②所示，点P在x轴上方．
∵A（0，-5），C（5，0），∴△AOC为等腰直角三角形，∠OCA=45°；
∵PC⊥AC，∴∠PCO=45°．
过点P作PF⊥x轴于点F，则△PCF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m，n），则有OF=m，PF=CF=n，
OC=OF+CF=m+n=5 ①
又点P在抛物线上，∴n=-m2+6m-5 ②
联立①②式，解得：m=2或m=5．
当m=5时，点F与点C重合，故舍去，
∴m=2，∴n=3，
∴点P坐标为（2，3）；
（II）如答图③所示，点P在x轴下方．
∵A（0，-5），C（5，0），∴△AOC为等腰直角三角形，∠OAC=45°；
过点P作PF⊥x轴于点F，
∵PA⊥AC，∴∠PAF=45°，即△PAF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m，n），则有PF=AF=m，OF=-n=OA+AF=5+m，
∴m+n=-5 ①
又点P在抛物线上，∴n=-m2+6m-5 ②
联立①②式，解得：m=0或m=7．
当m=0时，点F与原点重合，故舍去，
∴m=7，∴n=-12，
∴点P坐标为（7，-12）．
综上所述，存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．点P的坐标为（2，3）或（7，-12）．

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