Question

【高手接招】一道不定积分题目竟然出现两个不等价的答案！(附两种解法图),怎么回事？

题目：求【(b-x)(x-a)】^(-1/2)的积分(a<b)
解法一：(由于a<b,图中绝对值实际上可以去掉)

解法二：

我通过设角法对上述两个含arcsin的函数值进行验证，发现不一定相等，你们也可以动笔验证一下，但是对两个函数求导发现均等于被积表达式，这是怎么回事呢？

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Answer 1

两个函数求导发现均等于被积表达式_这表明结果形式不同，但是是等价的。事实上，积分结果为三角函数的，形式往往不唯一，比如本题，还有一个形式为

y=arctan(x-a-b)/[2*sqrt(x-a)*(b-x)]

追问

谢谢回答，但是你给的这个形式和解法一的答案我能互化，但这两者与解法二的答案我无法互化，如果你能做，能给出互化表达式吗？或者能否求出相差的常数C？若能给出必采纳为最佳答案！

Answer 2

一般是出在积分常数C上,你仔细找一找总能找出来.

追问

谢谢回答，可是正因为我找不出常数C才将问题问出来的。

追答

你把两个答案F1(x)-F2(x)=C就求出来了.

追问

那么请问两个反三角函数（而且F2还乘了系数2）如何相减呢？能恳请大侠给出具体过程吗？若给出F1(X)-F2(X)求C具体算式过程必采纳答案。

追答

你把F1(x)及F2(x)分别打出来我研究一下.(F1与F2的导数要确实相等噢!)

追问

F1(X)=arcsin【（2x-a-b）/（b-a）】
F2(X)= 2arcsin {【（x-a）/（b-a）】^(1/2) }
导数是相等的，均等于【(b-x)(x-a)】^(-1/2)，相减结果中不能有x，且b>a.

追答

F1(x)'=[arc sin((2x-a-b)/(b-a)]'=2/(b-a)/√(1-((2x-a-b)/(b-a))^2)=2/√((b-a)^2-(2x-a-b)^2)
=2/√[((b-a)+(2x-a-b))((b-a)-(2x-a-b))]=2/√[(b-a+2x-a-b)(b-a-2x+a+b)=2/√[(2x-2a)(2b-2x)]
2/[2√(x-a)(b-x)]=[(x-a)(b-x)]^-1/2
确实相等,但两者也必然有一个相差为常数C的关系,利用反三角恒等式:
arc sin u ± arc sin v=arc sin(u√(1-v^2)±v√(1-u^2))试算算看.