Question

已知a,b,c分别为△ABC的三边长，

已知a,b,c分别为△ ABC的三边长，且3(a²+b²+c）=（a+b+c)²,试判断△ABC的形状 ， 并说明理由 。

Answer 1

3(a²+b²+c²）=（a+b+c)²,
3a²+3b²+3c²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
a²-2ab+b² +b²-2bc+c² +c²-2ac+a²=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
∴a-b=0
b-c=0
c-a=0
∴a=b=c
∴三角形是等边三角形

Answer 2

3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2
3a^2+3b^2+3c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
又因为(a-b)^2≥0，(b-c)^2≥0，(c-a)^2≥0，所以
(a-b)^2=0
(b-c)^2=0
(c-a)^2=0
解得a=b=c
这个三角形是等边三角形。