Question

已知函数f(x)对一切实数x,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时

已知函数f(x)对一切实数x,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y)
求证：（1）f(x)是奇函数；

（2）若x>0，f(x)<0，判断f(x)的单调性

Answer 1

1,令y=0，f(x+0)=f(x)+f(0);
即f（x）=f(x)+f(0);
=>f(0)=0;
再令y=-x；
f（x-x）=f(x)+f(-x);
即f(0)=f(x)+f(-x)=0;
=>f(-x)=-f(x);得证
2）在x>0区间内任取x1>x2>0;
则有x1-x2>0;
根据题意x>0时有f(x)<0

因此f(x1-x2)<0;
又有f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)
=f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2)对任意x1>x2>0都成立；
故f（x）在x>0区间上单调递减
f（x）为奇函数
所以f（x）在R上单调递减