急！求因式分解方法？
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我们知道因式分解的常见方法有：提取公因式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法。除了这四种常见的方法外，在数学竞赛中还要用到下面的一些方法，现例析如下：
1， 推广了的十字相乘法
根据十字相乘法的形式，将其对系数的要求推广到含有字母的式子，可将较为复杂的多项式分解因式。
例1， 分解因式：x�0�5+xy-6y�0�5+x+13y-6 (希望杯赛题)
解：原式=（x�0�5+xy-6y�0�5）+(x+13y)-6
=(x+3y)(x-2y)+(x+13y)-6
=(x+3y-2)(x-2y+3) x+3y -2
x-2y +3
=3(x+3y)-2(x-2y)
=x+13y
练习题：分解因式：4x2-4x-y�0�5+4y=3 (02年重庆赛题)
2， 延拓了的公式法
在平方差公式、立方和与立方差公式的基础上，推导出了公式：
xn +y n=(x+y)(xn-1 –xn-2 y +…-x yn-2+yn-1) (n为奇数)
xn –yn =(x-y)(xn-1 +xn-2 y+…+xyn-2 +yn-1)
例2，已知乘法公式：
a5+b5=(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
a5-b5=(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)
利用或者不用上述公式分解因式：x8+x6+x4+x�0�5+1 (祖冲之杯赛题)
解：由公式得：x10-1=(x�0�5)5-1=(x�0�5-1)(x8+x6+x4+x�0�5+1)
∴x+x+x+x�0�5+1=(x10-1`)/(x�0�5-1)=(x5-1)/(x-1) �6�1(x5+1)/(x+1)
=(x-1)(x4+x�0�6+x�0�5+x+1)/(x-1)�6�1(x+1)(x4-x�0�6+x�0�5-x+1)/(x+1)
=(x4+x�0�6+x�0�5+x+1)(x4-x�0�6+x�0�5-x+1)
练习题：分解因式：1+x�0�5+x�0�6+…+x15
3,拓展了的分组分解法
⑴拆项（分组）法
把多项式里的某一项拆成两项或多项，使其能进行分组分解的一种方法。
例3，分解因式：x4-7x2+1 (祖冲之杯赛题)
解：原式=x4+2x2+1-9x2 (即把-7x2拆成-9x2+2x2)
=(x2+1)2-(3x)2
=(x2+1+3x)(x2+1-3x)
⑵添项（分组）法
在多项式中适当地添上一些项，使其能转化为可进行分组分解的一种方法。
例4，分解因式：3x6-x12-1
解：原式=x6+2x6-x12-1
=x6-(x12-2x6+1)
=(x3)2-(x6-1)2
=（x3-x6+1）(x3+x6-1)
练习：①x4+2x3+3x2+2x+1 (02年河南赛题)
②x3-9x+8 (祖冲之杯赛题)
4， 换元法
换元法是一种重要的数学方法，在分解饮食时，通过将原式的代数式用字母
代替后，达到简化原式结构的目的
例5、分解因式：（x+1）(x+2)(x+3)(x+6)+x2(天津赛题)
解：原式=[（x+1）（x+6）][(x+2)(x+3)]+x2
=(x2+7x+6)(x2+5x+6)+x2
令m=x2+6
∴原式=（m+7x）（m+5x）+x2
=m2+12xm+36x2
=（m+6x）2
=（x2+6+6x）2
例6、分解因式：xy（xy+1）+（XY+3）-2（x+y+�0�5）-（x+y-1）2（天津赛题）
解：设x+y=a，xy=b，原式=（b2+2b+1）-a2=（b+1+a）（b+1-a）=（xy+1+x+y）（xy+1-x-y）=（x+1）（y+1）（x-1）（y-1）
练习：分解因式①，(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24
② ,(x+Y-2xy)(x+y-2)+xy-1) (希望杯赛题)
5、主元法：
主元法就是将多元（多个字母）中某个元作为主要字母，视其他元为常数。重新按主元排列多项式，排除非主元字母的干扰，从而简化问题。
例7，分解因式：2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z （天津赛题）
解：原式=(2x-z)y2+(2xz-4x2)y+(2x3-x2z)
=(2x-z)y2+2x(z-2x)y+x2(2x-z)
=(2x-z)(x-y)2
练习：x4-2x4y+x4y2-2x2+y2-2x2y2+2y+1
6,构造法
构造法是数学解题中的一种重要方法，在中考与竞赛中经常用到。在分解因式时，通过适当的构造，可简化分解的难度。
例8，分解因式：x2+2xy-8y2+2x+14y-3
解：原式=x2+2(y+1)x-8y2+14y-3
令原式=0，∴x1+x2=-2(y+1)
设 x1=-(y+1)+k,x2=-(y+1)-k (构造对偶式)
又 x1�6�1x2=(y+1)2-k2=-8y2+14y-3
∴k2=(3y-2)2,得 ；x1=2y-3,x2=-4y+1
∴原式=（x-2y+3）(x+4y-1)
练习： 分解因式： x2+5xy+x+3y+6y2 (河南赛题)7，求根公式法
我们用g(x)表示关于x的一个多项式，如 g(x)=x4+2x3-9x2-2x+8.若g(a)=0,那么（x-a）是g(x)的一个因式。对于g(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,有因式px-q,那么其根q/p(p,q互质)的p一定是首项系数的约数，q一定是常数项的约数。
例9，分解因式：x4+2x3-9x2-2x+8
解：因4的约数有±1，±2，±4。试算可知有g(±1)=0,g(4)=0,
∴g(x)有因式（x-1）(x+1)(x-4)=x3-4x2-x+4.
再用g(x)÷(x3-4x2-x+4)=x+1
∴原式=（x-1）(x+1)2(x-4)
练习： 分解因式：x3+2x2-5x-6
8,待定系数法
待定系数法是数学常用方法，用途十分广泛。在因式分解中，就是首先设出几个含有待定系数的因式，然后根据多项式恒等和方程（组）来确定待定系数，从而分解因式。
例10，分解因式：x3+y3+z3-3xyz
解：因为原式为轮换对称式，其分解后的因式也必然是轮换对称式。当x=-(y+z)时，原式=0。所以原式含有（x+y+z）的因式。余下的必为2次对称式，设成l(x2+y2+z2)+m(xy+zy+zx)
∴x3+Y3+z3=3xyz=(x+y+z)[l(x2+y2+z2)+m(xy+yz+zx)]
比较三次项系数得l=1
又当x=1,y=0,z=1时
得：2=2（2+m） ∴m=-1
∴原式=（x+y+z）(x2+y2+z2-xy-yz-zx)
练习：若x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2,
求（a+b）的值，（武汉赛题）
9，配方法
配方法是把一个式子的一部分配成完全平方式或几个完全平方式的和（差）的形式，在此基础上分解因式。
例11，分解因式：x4+2x2+2ax+1-a2（哈尔滨赛题）
解：原式=x4+2x2+1-x2+2ax-a2
=(x2+1)2-(x-a)2
=(x2+1+x-a)(x2+1-x+a)
练习： （1+y）2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 (扬州赛题)
10．整体法
整体法就是把字母的某种组合看成一个整体，作为一个字母来对待，从而便于因式分解的一种方法。
例12， 分解因式：(x4-4x2+1)(x4+3x2+1)+10x4 (五羊杯赛题)
分析：由于两个括号内都有（x4+1）,我们把（x4+1）看作一个整体，当作是一个字母来分解因式。
解：原式=[（x4+1）-4x2][(x4+1)+3x2]+10x4
=(x4+1)2-x2(x4+1)-12x4+10x4
=(x4+1)2-x2(x4+1)-2x4
=(x4+1-2x2)(x4+1+x2)
=(x2-1)2(x4+x2+1)
=(x+1)2(x-1)2(x2+x+1)(x2-x+1)
11,综合方法
我们在分解因式的过程中，往往要将几个分解因式的方法结合起来才能完成一个因式分解的问题。对上述方法要灵活的运用。
例13， 分解因式：（x_2）3-(y-2)3-(x-y)3 (五羊杯赛题)
解：令m=x-2,n=y-2
∴m-n=x-y
原式=m3-n3-(m-n)3
=(m-n)(m2+mn+n2)-(m-n)3
=(m-n)(m2+mn+n2-m2+2mn-n2)
=3(m-n)mn
=3(x-2)(y-2)(x-y)
注：此题在换元的基础上，通过分组、公式、提公因式等多种方法来完成分解因式的。
练习：分解因式：a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)
1， 推广了的十字相乘法
根据十字相乘法的形式，将其对系数的要求推广到含有字母的式子，可将较为复杂的多项式分解因式。
例1， 分解因式：x�0�5+xy-6y�0�5+x+13y-6 (希望杯赛题)
解：原式=（x�0�5+xy-6y�0�5）+(x+13y)-6
=(x+3y)(x-2y)+(x+13y)-6
=(x+3y-2)(x-2y+3) x+3y -2
x-2y +3
=3(x+3y)-2(x-2y)
=x+13y
练习题：分解因式：4x2-4x-y�0�5+4y=3 (02年重庆赛题)
2， 延拓了的公式法
在平方差公式、立方和与立方差公式的基础上，推导出了公式：
xn +y n=(x+y)(xn-1 –xn-2 y +…-x yn-2+yn-1) (n为奇数)
xn –yn =(x-y)(xn-1 +xn-2 y+…+xyn-2 +yn-1)
例2，已知乘法公式：
a5+b5=(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
a5-b5=(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)
利用或者不用上述公式分解因式：x8+x6+x4+x�0�5+1 (祖冲之杯赛题)
解：由公式得：x10-1=(x�0�5)5-1=(x�0�5-1)(x8+x6+x4+x�0�5+1)
∴x+x+x+x�0�5+1=(x10-1`)/(x�0�5-1)=(x5-1)/(x-1) �6�1(x5+1)/(x+1)
=(x-1)(x4+x�0�6+x�0�5+x+1)/(x-1)�6�1(x+1)(x4-x�0�6+x�0�5-x+1)/(x+1)
=(x4+x�0�6+x�0�5+x+1)(x4-x�0�6+x�0�5-x+1)
练习题：分解因式：1+x�0�5+x�0�6+…+x15
3,拓展了的分组分解法
⑴拆项（分组）法
把多项式里的某一项拆成两项或多项，使其能进行分组分解的一种方法。
例3，分解因式：x4-7x2+1 (祖冲之杯赛题)
解：原式=x4+2x2+1-9x2 (即把-7x2拆成-9x2+2x2)
=(x2+1)2-(3x)2
=(x2+1+3x)(x2+1-3x)
⑵添项（分组）法
在多项式中适当地添上一些项，使其能转化为可进行分组分解的一种方法。
例4，分解因式：3x6-x12-1
解：原式=x6+2x6-x12-1
=x6-(x12-2x6+1)
=(x3)2-(x6-1)2
=（x3-x6+1）(x3+x6-1)
练习：①x4+2x3+3x2+2x+1 (02年河南赛题)
②x3-9x+8 (祖冲之杯赛题)
4， 换元法
换元法是一种重要的数学方法，在分解饮食时，通过将原式的代数式用字母
代替后，达到简化原式结构的目的
例5、分解因式：（x+1）(x+2)(x+3)(x+6)+x2(天津赛题)
解：原式=[（x+1）（x+6）][(x+2)(x+3)]+x2
=(x2+7x+6)(x2+5x+6)+x2
令m=x2+6
∴原式=（m+7x）（m+5x）+x2
=m2+12xm+36x2
=（m+6x）2
=（x2+6+6x）2
例6、分解因式：xy（xy+1）+（XY+3）-2（x+y+�0�5）-（x+y-1）2（天津赛题）
解：设x+y=a，xy=b，原式=（b2+2b+1）-a2=（b+1+a）（b+1-a）=（xy+1+x+y）（xy+1-x-y）=（x+1）（y+1）（x-1）（y-1）
练习：分解因式①，(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24
② ,(x+Y-2xy)(x+y-2)+xy-1) (希望杯赛题)
5、主元法：
主元法就是将多元（多个字母）中某个元作为主要字母，视其他元为常数。重新按主元排列多项式，排除非主元字母的干扰，从而简化问题。
例7，分解因式：2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z （天津赛题）
解：原式=(2x-z)y2+(2xz-4x2)y+(2x3-x2z)
=(2x-z)y2+2x(z-2x)y+x2(2x-z)
=(2x-z)(x-y)2
练习：x4-2x4y+x4y2-2x2+y2-2x2y2+2y+1
6,构造法
构造法是数学解题中的一种重要方法，在中考与竞赛中经常用到。在分解因式时，通过适当的构造，可简化分解的难度。
例8，分解因式：x2+2xy-8y2+2x+14y-3
解：原式=x2+2(y+1)x-8y2+14y-3
令原式=0，∴x1+x2=-2(y+1)
设 x1=-(y+1)+k,x2=-(y+1)-k (构造对偶式)
又 x1�6�1x2=(y+1)2-k2=-8y2+14y-3
∴k2=(3y-2)2,得 ；x1=2y-3,x2=-4y+1
∴原式=（x-2y+3）(x+4y-1)
练习： 分解因式： x2+5xy+x+3y+6y2 (河南赛题)7，求根公式法
我们用g(x)表示关于x的一个多项式，如 g(x)=x4+2x3-9x2-2x+8.若g(a)=0,那么（x-a）是g(x)的一个因式。对于g(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,有因式px-q,那么其根q/p(p,q互质)的p一定是首项系数的约数，q一定是常数项的约数。
例9，分解因式：x4+2x3-9x2-2x+8
解：因4的约数有±1，±2，±4。试算可知有g(±1)=0,g(4)=0,
∴g(x)有因式（x-1）(x+1)(x-4)=x3-4x2-x+4.
再用g(x)÷(x3-4x2-x+4)=x+1
∴原式=（x-1）(x+1)2(x-4)
练习： 分解因式：x3+2x2-5x-6
8,待定系数法
待定系数法是数学常用方法，用途十分广泛。在因式分解中，就是首先设出几个含有待定系数的因式，然后根据多项式恒等和方程（组）来确定待定系数，从而分解因式。
例10，分解因式：x3+y3+z3-3xyz
解：因为原式为轮换对称式，其分解后的因式也必然是轮换对称式。当x=-(y+z)时，原式=0。所以原式含有（x+y+z）的因式。余下的必为2次对称式，设成l(x2+y2+z2)+m(xy+zy+zx)
∴x3+Y3+z3=3xyz=(x+y+z)[l(x2+y2+z2)+m(xy+yz+zx)]
比较三次项系数得l=1
又当x=1,y=0,z=1时
得：2=2（2+m） ∴m=-1
∴原式=（x+y+z）(x2+y2+z2-xy-yz-zx)
练习：若x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2,
求（a+b）的值，（武汉赛题）
9，配方法
配方法是把一个式子的一部分配成完全平方式或几个完全平方式的和（差）的形式，在此基础上分解因式。
例11，分解因式：x4+2x2+2ax+1-a2（哈尔滨赛题）
解：原式=x4+2x2+1-x2+2ax-a2
=(x2+1)2-(x-a)2
=(x2+1+x-a)(x2+1-x+a)
练习： （1+y）2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 (扬州赛题)
10．整体法
整体法就是把字母的某种组合看成一个整体，作为一个字母来对待，从而便于因式分解的一种方法。
例12， 分解因式：(x4-4x2+1)(x4+3x2+1)+10x4 (五羊杯赛题)
分析：由于两个括号内都有（x4+1）,我们把（x4+1）看作一个整体，当作是一个字母来分解因式。
解：原式=[（x4+1）-4x2][(x4+1)+3x2]+10x4
=(x4+1)2-x2(x4+1)-12x4+10x4
=(x4+1)2-x2(x4+1)-2x4
=(x4+1-2x2)(x4+1+x2)
=(x2-1)2(x4+x2+1)
=(x+1)2(x-1)2(x2+x+1)(x2-x+1)
11,综合方法
我们在分解因式的过程中，往往要将几个分解因式的方法结合起来才能完成一个因式分解的问题。对上述方法要灵活的运用。
例13， 分解因式：（x_2）3-(y-2)3-(x-y)3 (五羊杯赛题)
解：令m=x-2,n=y-2
∴m-n=x-y
原式=m3-n3-(m-n)3
=(m-n)(m2+mn+n2)-(m-n)3
=(m-n)(m2+mn+n2-m2+2mn-n2)
=3(m-n)mn
=3(x-2)(y-2)(x-y)
注：此题在换元的基础上，通过分组、公式、提公因式等多种方法来完成分解因式的。
练习：分解因式：a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)
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十字相乘就是把二次项拆成两个数的积,
常数项拆成两个数的积,
拆成的那些数经过十字相成后再相加正好等于一次项,
看一下这个简单的例子m�0�5+4m-12
m -2
m ╳ 6
把二次项拆成m与m的积(看左边,注意竖着写)
-12拆成-2与6的积(也是竖着写)
经过十字相乘(也就是6m与-2m的和正好是4m)
所以十字相乘成功了
m�0�5+4m-12=(m-2)(m+6)
一定注意写结果的时候一定要横着写了
再看这个题的错解:
m�0�5+4m-12
m 3
m ╳ -4
经过识字相成以后很显然和不是4m,所以还是上面的正确
希望你能明白
常数项拆成两个数的积,
拆成的那些数经过十字相成后再相加正好等于一次项,
看一下这个简单的例子m�0�5+4m-12
m -2
m ╳ 6
把二次项拆成m与m的积(看左边,注意竖着写)
-12拆成-2与6的积(也是竖着写)
经过十字相乘(也就是6m与-2m的和正好是4m)
所以十字相乘成功了
m�0�5+4m-12=(m-2)(m+6)
一定注意写结果的时候一定要横着写了
再看这个题的错解:
m�0�5+4m-12
m 3
m ╳ -4
经过识字相成以后很显然和不是4m,所以还是上面的正确
希望你能明白
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