Question

若整数系数一元二次方程:ax^2+bx+c=0有有理根 那么a,b,c中至少有一个是偶数

Answer 1

反证法：
证明：假设三个都是奇数，设a=2p+1,b=2q+1,c=2r+1(p,q,r为整数)，
则它的判别式Δ=(2q+1)^2-4(2p+1)(2r+1)。
因为根都是有理数，则Δ为完全平方数，设Δ=m^2(m为整数)。代入上式，变形有：
(2q+1+m)(2q+1-m)=4(2p+1)(2r+1)。显然2q+1+m与2q+1-m的奇偶性相同，则：2q+1+m=2(2p+1)，2q+1-m=2(2r+1)上面两个式子相加，
有：2(2q+1)=2(2p+1)+2(2r+1)，2q+1=2p+1+2r+1=2(p+r+1)。
此时左边是奇数，右边是偶数，显然矛盾。
所以a,b,c三个不能同时都是奇数，即至少一个偶数。