Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连

接DE，点P从点D出发，延DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时

Answer 1

(1）过P作PH⊥BC于H，则PH∥AC；
Rt△ABC中，AC=6，BC=8；则AB=10．
∵P为AB上动点可与A、B重合（与A重合BP为0，与B重合BP为10）
但是x不能等于5．
∵当x=5时，P为AB中点，PM‖AC，得到PD‖BC，PD与BC无交点，与题目已知矛盾，所以x的取值范围是，0≤x≤10 且x≠5，
易知△BPH∽△BAC，得：
$\frac{PH}{AC}=\frac{BP}{AB}$，PH=$\frac{AC•BP}{AB}$=$\frac{3}{5}$x；
∴y=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{5}$x=$\frac{6}{5}$x（0≤x≤10 且x≠5）；
（2）当D在BC上时，
①∠PMB=∠B时，BP=PM，MH=BH=2；
此时△MPD∽△BCA，得：$\frac{x}{10}=\frac{2}{8}$，解得$x=\frac{5}{2}$；
②∠PMB=∠A时，△DPM∽△ACB，得：DP•BA=DM•BC；
∴10x=4×8，解得x=$\frac{16}{5}$；
当D在BC延长线上时，
由于∠PMD＞∠B，所以只讨论∠PDM=∠B的情况；
当P、A重合时，Rt△MPD中，AC⊥MD，则∠MAC=∠PDM，
∵tan∠MAC=$\frac{2}{3}$，tanB=$\frac{3}{4}$，tan∠MAC＜tanB，
∴∠MAC＜∠B，即∠PDM＜∠B；
由于当P、A重合时，∠PDM最大，故当D在BC延长线上时，∠B＞∠PDM；
所以△PDM和△ACB不可能相似；