Question

在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，F在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC。若∠ABC=∠BEF=60°

在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，F在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC。若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及PG/PC的值，并证明。 图示： http://hi.baidu.com/likezero/album/item/df9c38cface15365b700c862.html#

Answer 1

PG⊥PC，且 PGPC= 3，理由为：延长PG，与DC交于点H，如图1所示，可通过构建全等三角形求解．延长GP交DC于H，可证△DHP和△PGF全等，已知的有DC∥GF，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有DP=PF，因此构成了全等三角形判定条件中的（AAS），得出两三角形全等，于是△CHG就是等腰直角三角形且CP是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特点，即可得出CP⊥PG；又△CHG是个等腰三角形，得出顶角为120°，可根据三角函数来得出PG、CP的比例关系；
（2）在（1）中得到的两个结论不发生变化，即PG⊥PC，且 PGPC= 3，理由为：延长CP，与AB交于M点，连接CG，MG，构造全等三角形，可证三角形CBG与三角形MFG全等，先同（1）证明三角形CDP与三角形PFM全等，得到CP=MP，DC=MF，由DC=CB得到CB=MF，再由菱形BEFG得到BG=FG，再由一对角相等，利用SAS可得出三角形CBG与三角形MFG全等，利用全等三角形的对应边相等得到CG=MG，由P为CM的中点，利用三线合一得到PG与CP垂直，同时利用等式的性质得到∠CGM=60°，由CG=MG，得到三角形MCG为等边三角形，可得出∠PCG=60°，在直角三角形PCG中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值即可求出PG与PC的比值为 3；
（3）将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，取特殊情况考虑：如图1，由∠ABC=∠BEF=2α，根据两直线平行同旁内角互补表示出∠DCB，再由（1）得出CP为∠DCB角平分线，表示出∠PCG，在直角三角形PCG中，利用锐角三角函数定义可得tan∠PCG= PGPC=tan（90°-α）．

Answer 2

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/8b0a4894-5f96-4f19-ae48-54414c2ea87a