Question

用极坐标计算二重积分∫∫[D]arctan(y/x)dxdy,其中=D:1<=x^2+y^2<=4,0<=y<=x

求解答过程！谢谢！

Answer 1

解：∫∫[D]arctan(y/x)dxdy=∫<0,π/4>dθ∫<1,2>arctan(sinθ/cosθ)rdr (作极坐标变换)
=∫<0,π/4>dθ∫<1,2>r^2dr
=(π/4)(8/3-1/3)
=7π/12。

追问

书本答案是3(π^2)/64

追答

对不起，是我算错了！重解如下。
解：∫∫[D]arctan(y/x)dxdy=∫dθ∫arctan(sinθ/cosθ)rdr (作极坐标变换)

=∫dθ∫θrdr
=∫θdθ∫rdr
=((π/4)^2/2)(2^2/2-1/2)
=(π^2/32)(3/2)
=3π^2/64。