Question

已知函数FX=aX^2+X-XLNX(a>0)，若函数FX在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=ax^2+x-xlnx(a>0)

定义域是x>0

f'(x)=2ax+1-lnx-1

       =2ax-lnx

f(x)在定义域上是单调函数

∵a>0，x>0

∴f'(x)=2ax-lnx

2ax不可能恒<lnx

∴f(x)不可能是减函数

∴f(x)是增函数

∴f'(x)=2ax-lnx恒≥0

设h(x)=2ax-lnx恒≥0

h'(x)=2a-1/x=0

x=1/(2a)时f'(x)有最小值

f'(1/2a)=1-ln(1/2a)=1+ln(2a)≥0

ln(2a)≥-1

2a≥1/e

a≥1/(2e)

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