Question

有16名学生参加一次数学竞赛。考题全是选择题，每题有四个选项。

有16名学生参加一次数学竞赛。考题全是选择题，每题有四个选项。考完后发现任何两名学生的答案至多有一道题相同。问：这次竞赛最多有多少道选择题？rt【思路比答案更重要谢谢】

Answer 1

首先，16人做第一题，选A的人数，选B的人数，选C的人数，选D的人数应当都是4个，后面题目每个选项选择的人数也是4个，下面来证明：
假设某一题某个选项有超过4个人选择，比方说第一题A选项有5个人选择，那么到了第二题，这5个人根据抽屉原理，必然有两个人选择同样的选项，那么就有两个人这两题答案一样，与题意不符。
再假设某一题某个选项有少于4个人选择，比方说第一题A选项有3个人选择，那么其他13人选的都是B，C或D项，同样根据抽屉原理，B，C，D三项至少有一项选择的人数超过4人（因为如果都小于或等于4人的话，那么总数就是3*4=12人<13，不满足），那么这样就和上面的假设一样了，也是不成立的。
综合这两种假设，每题每个选项都刚好有4个人选。
好，下面从第一题开始看：
1. A1 B1 C1 D1
a1 b1 c1 d1
2. A2 B2 C2 D2
a2 b2 c2 d2
3. A3 B3 C3 D3
a3 b3 c3 d3
......
这里A1表示第一题的A选项，a1表示第一题选A的那4个人的集合，其他类推
假设某人P是a1集合中的一个人，那么他与a1集合中的其他3个人在第二题对应的四个集合中不能分在一组，所以a1集合中的四个人到第二题的时候应该分别放在a2,b2,c2,d2中(b1,c1,d1这三种也存在同样的情况)，也就是说，除了a1中的其他三个人，到第二题的时候，P只能和剩下的13人分在一组，且P在第二题和P同处一组的肯定是分别来自b1,c1,d1
到了第三题的时候，P只能和除了第一题目和他同组的三个人，还要除了第二题和他同一组的三个人共10人分在一组（注意这6个人是不会重复的，因为前面三个人是来自与a1，后面三个分别来自与b1,c1,d1，否则就不满足题意了）
由此可得到规律，没增加一题，能和P一组的就减少3人，一共16人，那么16-3n>=0，n=5
最多有5题