Question

AP微积分BC极限题

我用ratio 得
(n+1)(5x-1)/2n n → ∞
|(5x-1)/2| < 1
得3/5
请问错在哪里

Answer 1

你还没有理解收敛半径的真正意思，这是个∑an(x-x0)^n形式的幂级数，其收敛区间是|x-x0|＜R的样子，这里R才是收敛半径。所以由|(5x-1)/2|＜1得|x-1/5|＜2/5，R=2/5。

追问

我在普林斯顿的书上看到 radius of convergence 用ratio算出比例 n无限 然后算出x 没讲其他延伸
请问一般有哪些种形势 各形式的收敛区间怎么看 谢谢

追答

无外乎∑anx^n与∑an(x-x0)^n，而∑an(x-x0)^n可通过代换t=x-x0转化为∑anx^n结构，所以主要讨论∑anx^n。如果从某一项开始an≠0，可以只用系数来求收敛半径，当然用ratio也行，国内教材那多用这一做法。如果出现an=0，比如∑anx^(2n)，∑anx^(2n+1)等等，一般就要用ratio。ratio适用于任何形式。
只是需要区分收敛半径，收敛区间，收敛域。∑anx^n的收敛区间是|x|＜R，∑an(x-x0)^n的收敛区间是|x-x0|＜R，R就是收敛半径。收敛域就是在收敛区间的基础上再考虑端点是否收敛发散。