Question

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先谢谢了，如题：
如图所示 在矩形abcd中 矩形ebfg通过平移变化得到矩形HMND，点E,F,N,H都在矩形ABCD的边上，若BE=3，BF=4，4S3=S1+S2，且AH，AE的长均为整数，则图中空白部分的面积为___

说明一下，S3是阴影面积，其他的都是空白面积。100分!（心痛啊。。）
网上有个说AE=AH=2，但为什么呢？求解

Answer 1

答：

设S3矩形的长高为x和y，依据题意有：
BE=HM=3，BF=MN=4
所以：
AB=HM+BE-y=6-y
BC=BF+MN-x=8-x
所以：
AE=AB-BE=6-y-3=3-y
AH=AD-HD=8-x-4=4-x
上述AE和AH都是整数，则y=1或者y=2；x=1或者x=2或者x=3
可以证明：AE=CN=3-y，CF=AH=4-x
所以：S1=S2
因为：4S3=S1+S2=2S1
所以：S1=S2=2S3
所以：S1=(3-y)(4-x)=2S3=2xy
所以：12-3x-4y+xy=2xy
所以：xy=12-3x-4y
1）y=1时：x=12-3x-4，4x=8，x=2
2）y=2时：2x=12-3x-8，5x=4，x=4/5不是整数，矛盾
综上所述，x=2，y=1
所以：空白面积=AB*BC-S3=(6-y)(8-x)-xy=5*6-2=28
所以：空白面积为28

Answer 2

1≤NC=AE=X<HM=BE=3,1≤FC=AH=Y<MN=BF=4
（X、Y≠0,X≠3,Y≠4，否则满足不了4S3=S1+S2）
S3=(3-X)(4-Y)=12-3Y-4X+XY,S1=XY=S2
4S3=48-12Y-16X+4XY=S1+S2=2XY
48-12Y-16X+2XY=0,24-6Y-8X+XY=0=(X-6)(Y-8)-24
(X-6)(Y-8)=24=(6-X)(8-Y)=4*6
（X、Y都是整数。因为1≤X<3，所以5≥6-X>3；1≤Y<4,7≥8-Y>4）
所以X=2、Y=2
所以阴影面积S3=1*2=2，空白面积=5*6-2=28

验算：S1+S2=2XY=8=4S3

Answer 3

显然S1＝S2
S3＝(MH－AE)(MN－CF)＝(3－AE)(4－AH)
而S1＝S2＝AE·AH
由已知得：4(3－AE)(4－AH)＝2AE·AH
化简得：AE·AH－6AH－8AE＋24＝0
(6－AE)(8－AH)＝24
显然，6－AE＜6，8－AH＜8
故6－AE＝4，8－AH＝6
得AE＝2，AH＝2
∴S3＝2，S矩形ABCD＝30

从而除S3外的面积等于28

追问

大神啊！不过能不能把中间那个AE·AH－6AH－8AE＋24＝0化简成(6－AE)(8－AH)＝24的过程再写详细一些？这里不会化。。。。。。

Answer 4

我只能说AE=AH=2，如果你是指除了S1/S2/S3以外的面积，那么是28

追问

别复制OK？why？