Question

已知数列an的前n项和为Sn,且Sn＝2an-2（n＝1，2，3…）

已知数列an的前n项和为Sn,且Sn＝2an-2（n＝1，2，3…），数列bn中，b1＝1，点P（bn，bn+1）在直线y＝x+2上。
（1）求数列an，bn的通项公式an和bn
（2）设cn＝an*bn，求数列cn的前n项和Tn

Answer 1

1.
n=1时，a1=S1=2a1-2
a1=2
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=2an-2-[2a(n-1)-2]
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2，为定值，数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列。
an=2·2^(n-1)=2ⁿ
x=bn y=b(n+1)代入y=x+2
b(n+1)=bn+2
b(n+1)-bn=2，为定值，又b1=1，数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列
bn=1+2(n-1)=2n-1
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ；数列{bn}的通项公式为bn=2n-1
2.
cn=anbn=(2n-1)·2ⁿ
Tn=1·2+3·2²+5·2³+...+(2n-1)·2ⁿ
2Tn=1·2²+3·2³+...+(2n-3)·2ⁿ+(2n-1)·2^(n+1)
Tn-2Tn=-Tn=2+2·2²+2·2³+...+2·2ⁿ-(2n-1)·2^(n+1)
=2·(2+2²+...+2ⁿ) -(2n-1)·2^(n+1) -2
=2·2·(2ⁿ-1)/(2-1) -(2n-1)·2^(n+1) -2
=(3-2n)·2^(n+1) -6
Tn=(2n-3)·2^(n+1) +6