Question

设0<a<1,f(x)=loga(x+根号(x^2-1))

求实数k取何值时,关于x的方程f^-1(x)+a^-x=k在区间(loga4,0]上有相异的实数解,并求此时两根之和

Answer 1

由y=loga[x+√(x^2-1)]
得a^y=x+√(x^2-1)
∴a^y-x=√(x^2-1)
（a^y-x)^2=x^2-1
∴a^(2y)-2xa^y+x^2=x^2-1
∴2xa^y=a^(2y)+1
x=(a^y+1/a^y)/2
即f^(-1)(x)=(a^x+1/a^x)/2

关于x的方程f^-1(x)+a^-x=k

即f^(-1)(x)=k-a^(-x)
(a^x+1/a^x)/2+a^(-x)=k
即 k=(a^x+3/a^x)/2
在区间(loga4,0]上有相异的实数解，

∵0<a<1 ,x∈(loga4,0]
∴a^x∈[1,4)
令t=a^x∈[1,4)
k=1/2*(t+3/t) (*)
函数在[1,√3]上递减，在[√3,4)上递增，
当t=√3时，k取得最小值√3
当t=1时，k=2
当t=4时，k=19/8>2
若原方程在(loga4,0]上有相异的实数解，
需(*)中有2个t的值对应同一个k值
∴√3<k≤2