Question

已知函数f(x)=4^x-a*2^(x+1)-a^2 的定义域为[1,2],试求函数f(x)的最大

已知函数f(x)=4^x-a*2^(x+1)-a^2 的定义域为[1,2],试求函数f(x)的最大值,记为g(a),求g(a)表示式,求g(a)最大值?

Answer 1

令t=2^x, 则2=<t<=4
f(x)=t^2-2at-a^2=(t-a)^2-2a^2
此为开口向上，对称轴为t=a，最大值必在端点上
当a>=3时，t=2时，取最大值g(a)=4-4a-a^2=8-(a+2)^2, 此区间上g(a)最大值为g(3)=-17
当a<3时，t=4时，取最大值g(a)=16-8a-a^2=32-(a+4)^2,此区间上g(a)最大值为g(-4)=32
因此g(a)的最大值为32.

Answer 2

令t=2^x，则t∈[2,4]
f(x)=t²-2at-a²
对称轴为t=a
a≤3时，f(x)max=-a²-8a+16
a>3时，f(x)max=-a²-4a+4
-a²-8a+16，a≤3
g(a)= -a²-4a+4，a>3

当a≤3时，g(a)max=g(-4)=4
a>3时，g(a)<g(3)=-17
综上，g(a)max=4

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