Question

如图，M、N为△ABC边BC上的两点，且满足BM=MN=NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM

如图，M、N为△ABC边BC上的两点，且满足BM=MN=NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F. 求证：EF=3DE.（请详细解释这道题）

Answer 1

设DF与BC的交点为G
则，
EF/AC＝EG/AC+GF/AC
＝MG/MC+NG/NC
＝MG/2NC+NG/NC
＝(MN+NG)/2NC
＝(NC+NG)/2NC
＝(1/2)×(1+NG/NC)

DF/AC＝DG/AC+GF/AC
＝BG/BC+NG/NC
＝BG/3NC+NG/NC
＝(BG+3NG)/3NC
＝(BN+2NG)/3NC
＝(2NC+2NG)/3NC
＝(2/3)×(1+NG/NC）

所以，(DF/AC)/(EF/AC)
＝(2/3)/(1/2)
＝4/3
即，DF/EF=4/3
即，(DE+EF)/EF=4/3
即，(DE/EF)＋1＝4/3
即，DE/EF＝1/3
所以，EF=3DE