Question

拉格朗日函数是什么，在微观经济学中怎么应用？

Answer 1

1. 拉格朗日函数：如果在力学系上只有保守力的作用，则力学系及其运动条件就完全可以用拉格朗日函数表示出来。这里说的运动条件是指系统所受的主动力和约束。

   （1）在分析力学里，一个动力系统的拉格朗日量（英语：Lagrangian），又称为拉格朗日函数，是描述整个物理系统的动力状态的函数，对於一般经典物理系统，通常定义为动能减去势能。

   （2）在分析力学里，一个动力系统的拉格朗日量（英语：Lagrangian），又称为拉格朗日函数，是描述整个物理系统的动力状态的函数，对於一般经典物理系统，通常定义为动能减去势能。

   出自《百度百科》

2. 微观经济学研究消费者行为时，所要阐述的核心问题是消费者均衡的原则。所谓消费者均衡指的是一个有理性的消费者所采取的均衡购买行为。进一步说，它是指保证消费者实现效用最大化的均衡购买行为。 但人的需要或欲望是无限的，而满足需要的手段是有限的。所以微观经济学所说的效用最大化只能是一种有限制的效用最大化。而这种限制的因素就是各种商品的价格和消费者的货币收入水平。

   边际效用的公式表达为:MU=∂TU/∂Q（商品数量(Q)，商品价格(P), 收入(I) ）

   参考：http://wenku.baidu.com/link?url=27mOmEtTJYWIY6IF0s-yGPwdG1UJJJC-hGByIFzaQhqTN-iqOj_63rz6XEYK9lVzUOE3EURPIrenFcJVyEuxsyuDIzwIIV9ezI9KGFJwVt3

Answer 2

先说用法吧，拉格朗日乘子法是用来求有限制的下最优解的，这里限制条件就是制约函数，求得就是在满足g（x）=b时f(x)的最值。
下面说具体内容，举个栗子比较容易讲：
假设f(x)是效用函数，g（x）=b是成本约束，为了简便x=x好了（只有一个约束），另外假设x的价格为p，后面会用到。
那等式l=f(x)+λ[b-g(x)]的意义就是如何在花光b那么多预算的时候让f(x)最大，答案显而易见就是当b=g(x)时所有预算花光，剁手剁得很欢快。这时λ就是收入的边际效用，也就是b每增加1各单位，效用就会增加λ那么多。证明如下：
对l求x和λ的一阶偏导，得到：
1.
dl/dx=f'(x)+λg'(x)=0
2.
dl/dλ=b-g(x)=0
第2个等式就是制约条件，意思就是预算被花光（因为完整的拉格朗日乘子法是允许不花光的）。
等式1变形得
3.
λ=f'(x)/g'(x)
λ的定义就出来了，也就是当b每增加1个单位，g'(x)=1/p，就是花在x上的钱多了1，同时买了1/p那么多的x，这时λ=f'(x)/p，就是1单位收入带来的额外效用。
这时因为x是一元的所以最值不用另外求，就是当x=g^(-1)[b]时f(x)最大。
现在变成二元的，x=(x,y)，g（.）依旧是成本，f（.）还是效用，但这时λ还是一样的意义，只不过一阶偏导变成了3个:
dl/dx=0
...展开先说用法吧，拉格朗日乘子法是用来求有限制的下最优解的，这里限制条件就是制约函数，求得就是在满足g（x）=b时f(x)的最值。
下面说具体内容，举个栗子比较容易讲：
假设f(x)是效用函数，g（x）=b是成本约束，为了简便x=x好了（只有一个约束），另外假设x的价格为p，后面会用到。
那等式l=f(x)+λ[b-g(x)]的意义就是如何在花光b那么多预算的时候让f(x)最大，答案显而易见就是当b=g(x)时所有预算花光，剁手剁得很欢快。这时λ就是收入的边际效用，也就是b每增加1各单位，效用就会增加λ那么多。证明如下：
对l求x和λ的一阶偏导，得到：
1.
dl/dx=f'(x)+λg'(x)=0
2.
dl/dλ=b-g(x)=0
第2个等式就是制约条件，意思就是预算被花光（因为完整的拉格朗日乘子法是允许不花光的）。
等式1变形得
3.
λ=f'(x)/g'(x)
λ的定义就出来了，也就是当b每增加1个单位，g'(x)=1/p，就是花在x上的钱多了1，同时买了1/p那么多的x，这时λ=f'(x)/p，就是1单位收入带来的额外效用。
这时因为x是一元的所以最值不用另外求，就是当x=g^(-1)[b]时f(x)最大。
现在变成二元的，x=(x,y)，g（.）依旧是成本，f（.）还是效用，但这时λ还是一样的意义，只不过一阶偏导变成了3个:
dl/dx=0
dl/dy=0
dl/dλ=0
三元一次方程组解出唯一解的话就是最优了。
当x上升为n元时，也就意味着要同时考虑n个条件，就像是同时用b购买有n种商品，要求效用的最优解。这时唯一的不同只是方程组的未知数变多了，解法还是一样的。
至于b的元数...你遇到更高元的限制条件再问吧...收起

Answer 3

这些问题很难一两句解答，拉格朗日函数就是拉格朗日公式在百度百科有，一般经济学不需要用到过多数学，想要深入研究的话建议阅读范里安的《微观经济学现代观点》或者尼克尔森的《微观经济学》

Answer 4

L(x, 入) = u (x)-入(px-m)
分别对x和入求导，可以求出x值。为x在最大效用下的最优解。