Question

二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象经过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使x≤f(x)≤1/2(1+x^2)对一切实数都成立

二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象经过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使x≤f(x)≤1/2(1+x^2)对一切实数都成立?
请证明你的结论

Answer 1

观察直线
y=x
与二次曲线
y=1/2(1+x^2)
因为直线与曲线的交点有两个，分别为（0，0）（1，1），并且有
x<1/2(1+x^2)，x<0;
x>=1/2(1+x^2)，0<=x<1;
和 x<1/2(1+x^2)，x>=1
于是若存在这样的a,b,c使得题设成立，则必有f(x)过点（0，0）和（1，1）
又由图像过（-1，0），建立三元一次方程组，解得a=b=1/2,c=0.