Question

定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(-1,4]时,f(x)=x^2-2^x,则函数f(x)在【0,2013】上零点个数?

怎么知道一个周期上只有三个零点啊？求导的话，怎么知道它小于零啊？？详细些~~~谢谢！！

Answer 1

定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(-1,4]时,f(x)=x^2-2^x,则函数f(x)在【0,2013】上零点个数。

解析：∵定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,
令x=x+5代入上式得f(x+5)+f(x+10)=16
∴f(x)=f(x+10)，即是以10为最小正周期的周期函数
∵当x∈(-1,4]时,f(x)=x^2-2^x==>f(-1)=1/2, f(0)=-1, f(1)=-1, f(2)=0, f(3)=1, f(4)=0
∴当x∈(-1,4]时,f(x)有三个零点
∵f’(x)=2x-2^xln2，∴当x∈(1,9)时，f’(x)<0，单调减，即无零点
综上：函数f(x)在一个周期内有三个零点，
2013/10=201+3
就是说在区间[.,2013]上有200个完整周期，则3*200=600
在第一个周期内，少一个零点，即有二个零点
当x∈(2009,2013]时，也有二个零点
∴函数f(x)在【0,2013】上共有604个零点

追问

为什么当x∈(1,9)时，f’(x)<0？为什么要算x∈(1,9)这个区间啊？又不是一个周期，也和上面拼不成一个周期