Question

高中数学，立体几何，主要是计算问题，请高手解答

∠BOC在平面内，OA为平面的一条斜线，∠AOB=∠AOC，求证：OA在平面内的射影为∠BOC的角平分线。（题目我会解） 我们老师说，这里有个公式：cosA=cosaXcosb.我不知道这个公式是什么，所以麻烦高手将这个公式解释一下吧，拜托了~~~

Answer 1

这个定理叫做"三馀弦定理"
设平面的一条斜线l与平面内一条直线n所成角为γ,l与平面所成角为α,l在平面上的射影m与n所成角为β,则
cosγ=cosαcosβ
证明:
先将三条直线平移至有共同的点O,在l上取一点A(A与O不重合),设A在面上的射影为B
过B作n的垂线,设垂足为C,连接AC,则AC在面上的射影为BC
∵BC⊥OC,∴AC⊥OC(三垂线定理,垂直於射影就垂直於直线)
∴得到三个直角三角形,Rt△AOC,Rt△BOC和Rt△AOB
根据馀弦的定义,cosγ=cosAOC=OC/OA
cosα=cosAOB=OB/OA
cosβ=cosBOC=OC/OB
∴cosαcosβ=OC/OB*OB/OA=OC/OA=cosγ

以後作为课外补充还有一个叫做"三正弦定理",用来求二面角的大小或者是直线与平面所成角都非常好用.
设二面角P-MN-Q,在半平面PMN上有一条直线l,l与二面角的棱MN所成角为α,二面角大小为β,l另一半平面QMN所成角为γ,则
sinγ=sinαsinβ

Answer 2

听过小角定理吗？在三垂线定理那一个章节呢，你可以看一下