Question

2014年数学竞赛 求详解

Answer 1

答案应该为8.
(1) 根据方程有：f(n－1) + f(1) ＝ f(n) + n－1
===> f(n) － f(n－1) ＝ m － (n－1)
f(n－1)－ f(n－2) ＝ m － (n－2)
. . .
f(2) － f(1) ＝ m － 1
===> f(n) ＝ mn － n(n－1)/2
(2) f(n) ＝ mn － n(n－1)/2 ＝2014
===> 2m＝4028/n + (n－1)
===> 2m＝4*19*53 / n + (n－1)
因为2m为偶数，因此n只有：
n＝1、19、53、19*53、4、4*19、4*53、4*19*53八个解。

Answer 2

首先f（1）=2014成立
当x=y=1
f（2）+1=2f（1） f（2）=2f（1）-1
当x=1，y=2
f3+2=f2+f1 f3=3f1-3
当x=1，y=4
f4+3=f3+f1 f4=4f1-6 ……
可以猜测fn=nf1-n（n-1）/2（n>1）
fn=mn-n²/2+n/2=2014
n（m-n/2+1/2）=2014
而2014=2*19*53
所以n=2时，m=1008.5，不是
n=19时，m=115
n=38，m不是正整数
n=53，m=64
n=106，不是
n=1007，m=505
所以共有4对
（2014,1）
（115,19）
（64,53）
（505,1007）

Answer 3

比雏鹰杯全国数学邀请赛还要(⊙v⊙)难一点吧