Question

已知数列｛an｝满足a1=1,an=2a(n-1)+1

求证：数列｛an +1｝是等比数列
求｛an｝的通项公式

Answer 1

(1) an=2a(n-1)+1
∴an+1=2a(n-1)+2=2[a(n-1)+1]
而a1+1=1+1=2≠0，所以a(n-1)+1≠0
所以(an+1)/[a(n-1)+1]=2，为常数
所以数列{an+1}是以2为首项、2为公比的等比数列
(2)an+1=2×2^(n-1)=2^n，所以an=2^n-1 (n∈N+)

Answer 2

a1+1=2;
an+1=2a(n-1)+2=2(a(n-1)+1)
q=(an+1)/(a(n-1)+1)=2
所以｛an+1｝为等比数列，通项公式为an+1=2^n，所以an=2^n-1

Answer 3

(1)
an/2^n=1/2+(n-1)=n-1/2
an=n2^n-2^(n-1)

(2)
sn=[2^1-2^0]+[2*2^2-2^1]+[3*2^3-2^2]+……+[(n-2)2^(n-2)-2^(n-3)]+[(n-1)2^(n-1)-2^(n-2)]+[n2^n-2^(n-1)]
=-2^0+2^2+2*2^3+……+(n-3)2^(n-2)+(n-2)2^(n-1)+n2^n

sn=-2^0+2^2+2*2^3+……+(n-3)2^(n-2)+(n-2)2^(n-1)+n2^n
2sn=-2^1+2^3+2*2^4+……+(n-3)2^(n-1)+(n-2)2^n+n2^(n+1)
两式相减：
sn=2^0-2^1-2^2-2^3-……-2^(n-2)-2^(n-1)-2^n+n2^(n+1)
=2-2^0-2^1-2^2-2^3-……-2^(n-2)-2^(n-1)-2^n+n2^(n+1)
=2-[2^(n+1)-1]/(2-1)+n2^(n+1)
=3-2^(n+1)+n2^(n+1)
=3+(n-1)2^(n+1)
sn=3+(n-1)2^(n+1)
sn/2^n=3/2^n+2n-2
3/2^n＞0
sn/2^n＞2n-2＞2n-3
不懂的欢迎追问，如有帮助请采纳，谢谢!

Answer 4

答：
1）
A1=1，An=2A(n-1)+1
所以：An +1 =2A(n-1)+1+1
所以：An +1 =2*[ A(n-1)+1 ]
因为：A1 +1=1+1=2≠0
所以：{An +1}是等比数列，首项为2，公比q=2

2）
根据上述1）可以知道：
An +1=2*2^(n-1)=2^n
所以：
An=2^n -1