Question

高数题，求高手帮忙解下

Answer 1

求函数f(x，y)=x³-y³+3x²+3y²-9x的极值
解：令∂f/∂x=3x²+6x-9=3(x²+2x-3)=3(x+3)(x-1)=0，得x₁=-3，x₂=1；
∂f/∂y=-3y²+6y=-3y(y-2)=0，得y₁=0，y₂=2；
故得驻点P₁(-3，0)；P₂(-3，2)；P₃(1，0)；P₄(1，2)；
求出二阶导数：A=∂²f/∂x²=6x+6；B=∂²f/∂x∂y=0；C=∂²f/∂y²=-6y+6；
在点P₁(-3，0)：B²-AC=-(-12)×6>0，不是极值点；
在点P₂(-3，2)：B²-AC=-(-12)×(-6)<0，A=-12<0，故P₂是极大点；
在点P₃(1，0)：B²-AC=-12×6<0，A=12>0，故P₃是极小点；
在点P₄(1，2)：B²-AC=-12×(-6)>0，不是极值点。
故maxf(x，y)=f(-3，2)=-27-8+27+12+27=31
minf(x，y)=f(1，0)=1+3-9=-5.