Question

!!高手来!!求证:cosx+cos2x+...+cosnx={[cos(n+1)x/2]*[sin(n/2)x]}/[sin(x/2)]

哇！是挺吓人的。。。

Answer 1

希望你学过复数的三角形式...

设z=cosx+isinx

由棣美弗定理 z^n=cosnx+isinnx

则上式左边即为

z+z^2+z^3+...+z^n的实部

又z+z^2+...+z^n=z(1-z^n)/(1-z)

=(cosx+isinx)(1-cosnx-isinnx)(1-cosx+isinx)/[(1-cosx)^2+sin^2x]

确实很冗长 我都快吓晕了....

然后只需把分子实部找出来，利用组合原理按顺序找

比如找第一个括号的cosx 然后第二个括号的1 第三个括号的1和cosx

然后依次 注意要乘都有i的 比如 找了isinx 就要搭配isinnx和1-cosx

这样

实部A=(cosnx+cosx-cos(n+1)x-1)/2(1-cosx)

=2cos((n+1)x/2)sin((n-1)x/2)-2cos^2((n+1)x/2)/4sin^2(x/2)

提公因式 再和差化积

=cos((n+1)x/2)*2sin(nx/2)sin(x/2)/2sin^2(x/2)

=右边

故等式得证