Question

高等数学，求偏导数，如下图，如果对y求偏导，用定义求得极限为0，但直接求偏导，将x看成常数，算下来

高等数学，求偏导数，如下图，如果对y求偏导，用定义求得极限为0，但直接求偏导，将x看成常数，算下来极限不存在，怎么会两种方法算出结果不一样呢？

Answer 1

1、此题在（0，0）只能用偏导定义求出。

2、

因为直接求偏导，要求x,y都不为0，才可以求。否则，分母没有定义。

Answer 2

用定义法求偏导数也不存在。f(0,0)=e^0=1,
左偏导数 lim<y→0->[f(0,y)-f(0,0)]/(y-0)
=lim<y→0->[e^(-y)-1]/y=lim<y→0->(-y)/y=-1;
右偏导数 lim<y→0+>[f(0,y)-f(0,0)]/(y-0)
=lim<y→0+>[e^y-1]/y=lim<y→0+>y/y=1。
故偏导数不存在。
直接求偏导数也不存在。

追问

笔记上用铅笔画线处，极限为0

追答

y 是几次方？看不清！

若是2次方， 划线处计算错误 ！
lim√(y^2)/y=±1 ! 故偏导数不存在。
与上面求对 x 的偏导数结果一样啊 ！

若是 6 次方，lim√(y^6)/y=0.
f‘=[3y^5/√(x^2+y^6)]e^√(x^2+y^6) (x,y不同时为0）
故求 f‘（0, 0） 还必须用定义法。