Question

已知数列{an}中（1）a1=1,且anan+1=2^n,求通项公式

Answer 1

anan+1=2^n
ana(n-1)=2^(n-1)
两式相除
a(n+1)/a(n-1)=2
所以数列的偶数项，奇数项各自成等比数列。
a1=1, a2=2
所以a(2n)=2^n
a(2n-1)=2^(n-1)

所以an=2^(n/2), n是偶数
2^((n-1)/2), n是奇数

讨论奇数偶数，是因为a(n+1), a(n-1)的项数相差为2，并不是相邻两项的关系。而且奇数项们，偶数项们，不符合一个数列表达式。

追问

a(2n)=2^n
a(2n-1)=2^(n-1)

这里面的项数怎么看的为什么2n是n，2n-1又变为了n-1，看不明白啊

追答

因为第2n项，恰好是偶数项里的第n个。
第2n-1项，恰好是奇数项里的第n个。
然后各自用等比数列的第n项的公式就可以了。

最后：
当偶数项时，a(2n)=2^n
可以令k=2n，n=k/2
带入上面的a(2n)=2^n
变成了ak=2^(k/2)

当奇数项时，a(2n-1)=2^(n-1)
令k=2n-1, k=(n+1)/2
带入a(2n-1)=2^(n-1)
就饿得到了ak=2^((k-1)/2)

所以ak=2^(k/2), k是偶数
2^((k-1)/2), k是奇数
最后，把k换成n就得到了结果

Answer 2

由题意:n=1时，a2*a1=a2*1=2,即a2=2
n=2时，a2*a3=4,即a3=2
当n>=2时，
anan+1=2^n
an-1 an=2^(n-1)
故an+1/an-1=2
所以隔项成等比数列
当n为偶数时，an=a2*2^(n/2 -1) =2^(n/2)
当n为奇数时，an=a3*2^[(n-1)/2 -1]=2^[(n-1)/2]
又n=1时符合式子2^[(n-1)/2]
故通项公式为：

an=2^[(n-1)/2](n为奇数）；an=2^(n/2)(n为偶数)

追问

为什么要讨论奇数偶数

Answer 3

1)an*a(n+1)=1/2^n
a(n+1)a(n+2)=1/2^(n+1)
相除得
a(n+2)=2an;
故a2n=1/2a(2n-2)=…………a2/2^(n-1)=1/2^n
a(2n-1)=………………
=a1/2^(n-1)=1/2^(n-1)
均为等比数列；
2)a2=1/2;
t2n=
(a2+a1)(1+1/2+1/2^2+……1/2^(n-1))
=3-
3/2^n
3)把题目写清楚一点。。ok?.。