Question

证明：函数y=(1/x) * sin(1/x)在区间（0，1】上无界，但这函数不是x→0+使得无穷小

这是高等数学书上册（同济第五版）P42上的课后习题第7题

Answer 1

取点列1/(pi/2), 1/(2pi+pi/2), 1/(4pi+pi/2),...显然这点列趋近于零。
当x在此点列中取值时，sin(1/x)始终是1，而1/x越来越大。任取M>0，则显然能找到自然数N，f(1/(Npi+pi/2))>M。故而无界。

0+处无穷大的定义是：如果对于任意大的正数K，都能找到一个正数d，使得0<x<d时，f(x)>K。而此处，选定一个K后，无论取多小的正数d，都能找到自然数m，使得x = 1/m(pi)处的函数值为零。因为sin(1/x) = sin(m pi) = 0。
故而不满足无穷大定义。