Question

数学，第11题、第12题求解

Answer 1

11.∵平面PAB⊥平面ABC，故可作PQ⊥AB于Q，由于三角形ABC是确定的，因此面积一定，要想让三棱锥体积最大则要让PQ的长度最大。显然当且仅当Q为AB中点时PQ最长（画个图就清楚了，还是不明白请追问）
球心为O，连接OA、OB、OC
|OA|=|OB|=2，|AB|=2√3，根据余弦定理，∠AOB=120°，同理，∠BOC=∠AOC=120°，所以O在平面ABC内且O为△ABC内（外，重，垂）心
连接OP、CQ
∵O为重心，∴COQ共线
∴|OQ|=|QC|-|OC|=1
∵|OP|=2，∠OQP=90°
∴|PQ|=√3
S△ABC=1/2|AB|*|AC|*sin∠BAC=3√3
故四面体体积最大为3

12.P点所划过的区域应当为以OA、OB为临边的平行四边形（若需要解释清追问）
连接OA、OB，作OQ⊥AC于Q
在△ABC中，根据余弦定理求得|BC|=7
S△ABC=1/2*|AB|*|AC|*sin∠BAC=1/2*（|AB|+|AC|+|BC|）*|OQ|（可以连接OC，因为O是内心所以三个小三角形的高都等于OQ），解得|OQ|=2*√6/3
∵O为内心，∴∠BAO=∠OAQ
根据二倍角公式，求得cos∠BAO=cos∠OAQ=3/5，sin∠BQO=sin∠OAQ=4/5
在△OAQ中，|AO|=|OQ|/sin∠OAQ=5*√6/6
∴S△AOB=1/2*|OA|*|AB|*sin∠OAB=5*√6/3
∴SOAPB=2S△AOB=10*√6/3