Question

x+y+z=1 求证yz+zx+xy-9xyz>=0

x+y+z=1 求证yz+zx+xy-9xyz>=0 柯西不等式以外的方法．谢谢．

Answer 1

用“算术平均值>=几何平均值”，即a+b+c>=3(abc)^(1/3) 应该可以吧。

yz+zx+xy=(x+y+z)(yz+zx+xy)=3xyz+(xxy+yyz+zzx+xyy+yzz+zxx)
xxy+yyz+zzx>=3(xxy·yyz·zzx)^(1/3)=3xyz
xyy+yzz+zxx>=3(xyy·yzz·zxx)^(1/3)=3xyz
所以yz+zx+xy>=3·3xyz=9xyz

如果a+b+c>=3(abc)^(1/3)都不能用，那就用更基本的a+b>=2√ab

xxy+yzz>=2√(xxy·yzz)=2xyz
yyz+zxx>=2√(yyz·zxx)=2xyz
zzx+xyy>=2√(zzx·xyy)=2xyz
所以yz+zx+xy>=3xyz+2·3xyz=9xyz

Answer 2

题目错了.应该加上x,y,z都是非负数(不然当x=-2,y=4,z=-1时不成立).
易知，当x,y,z中有1个或2个是0时，不等式成立；
当x,y,z都是正数时，xyz>0,
所以(yz+zx+xy)/(9xyz)
=1/(9x)+1/(9y)+1/(9z)
=(x+y+z)/(9x)+(x+y+z)/(9y)+(x+y+z)/(9z)
=(1/9+1/9+1/9)+[y/(9x)+x/(9y)]+[z/(9x)+x/(9z)]+[z/(9y)+y/(9z)]
>=1/3+2*1/9+2*1/9+2*1/9
=1,
所以yz+zx+xy>=9xyz,
即yz+zx+xy-9xyz>=0.

Answer 3

有点难度~~