Question

求解一道线代题目

Dn=
a+b ab 0 …… 0 0
1 a+b ab …… 0 0
0 1 a+b …… 0 0
…… …… …… …… …… ……
…… …… …… 1 a+b ab
0 0 0 …… 1 a+b

求证 Dn=(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b) (a≠b)

Answer 1

证明:
按第1列展开得: Dn=(a+b)D(n-1) - abD(n-2).
用归纳法证明
当n=1时, D1=a+b
[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)=(a^2-b^2)/(a-b)=a+b
所以n=1时结论成立.
假设k=n-1时结论成立, 则k=n时
Dn=(a+b)D(n-1) - abD(n-2)
=(a+b){[a^(n-1+1)-b^(n-1+1)]/(a-b)} - ab{[a^(n-2+1)-b^(n-2+1)]/(a-b)}
=(a+b){[a^n-b^n]/(a-b)} - ab{[a^(n-1)-b^(n-1)]/(a-b)}
= [a^(n+1)-b^(n+1)-ab^n+ba^n-ba^n+ab^n]/(a-b)
= [a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)
所以k=n时结论也成立.
综上可知, 对任意自然数n, Dn=[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b).

追问

第一步 Dn=(a+b)D(n-1)-abD(n-2) 这个D(n-2）为什么等于a12的余子式啊，a12的余子式我觉得不像是Dn-2啊。。

追答

两步而已，ab乘的行列式第一列只有一个非零元素1，这样再计算就是Dn-2

追问

才学太死板了没看到，谢谢！！

Answer 2

按第一行展开得
a|b 1 0| -1*|-1 1 0| =a*b*|c 1|-1*|-1 1|-1*(-1)*|c 1|
-1 c 1 0 c 1 -1 d 0 d -1 d
0 -1 d 0 -1 d

=ab(cd-1)-(-d)+(cd+1)=abcd-ab+d+cd+1
希望能解决您的问题。