Question

【在线 急等-采纳】【高二数学】若直线l:y=kx+m与椭圆x²/4+y²/3=1

若直线l:y=kx+m与椭圆x²/4+y²/3=1交于A、B两点且以AB为直径的圆过圆心的右顶点，求证：直线l过定点，并求出定点坐标。

Answer 1

设A(x1,y1) B(x2,y2)
联立y=kx+m, x²/4+y²/3=1
整理得:(3+4k²)x²+8mkx+4m²-12=0
Δ=64m²k²-4(4k²+3)(4m²-12)>0
解得:m²<4k²+3 ①
由韦达定理:x1+x2=-8mk/(3+4k²). x1x2=(4m²-12)/(3+4k²)
所以y1y2=k²x1x2+mk(x1+x2)+m²=(3m²-12k²)/(3+4k²)
因为以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D(2,0)
所以向量DA·向量DB=0
<=>x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0
<=>7m²+16mk+4k²=0
解得:m1=-2k/7, m2=-2k
经检验,当m=-2k/7或m=-2k时,①式均成立
而当m=-2k时,直线l: y=k(x-2),过右顶点,不合题意
所以m=-2k/7, 直线l: y=k(x-2/7).过定点(2/7,0)