Question

已知f(x)=(ax+b)/(1+x)是定义在(-1，1)上的奇函数，且f(1/2)=2/5。

已知f(x)=(ax+b)/(1+x)是定义在(-1，1)上的奇函数，且f(1/2)=2/5。 求函数f(x)的解析式 用定义域证明f(x)在(-1，1)上是增函数

Answer 1

解：
1、f(x)=(ax+b)/(1+x^2)
因为：f(x)是奇函数，
所以：f(0)=b=0，即：f(x)=ax/(1+x^2)。
又因为f(1/2)=2/5
所以：a(1/2)/(1+(1/2)^2)=2/5
即：a(1/2)/(1+1/4)=a(2/5)=2/5
所以：a=1
所以，所求解析式为：f(x)=x/(1+x^2)。

2、设x1＜x2，且x1,x2∈(-1,1)
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)
=[x2(1+x1^2)-x1(1+x2^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
显然，上式中分母＞0，我们只需考查分子。
分子=x2+x2(x1^2)-x1-x1(x2^2)
=(x2-x1)-x1x2(x2-x1)
=(x2-x1)(1-x1x2)
因为x1,x2∈(-1,1)，所以x1x2＜1，即：1-x1x2＞0
又因为x1＜x2，所以x2-x1＞0
所以：当x2＞x1时，f(x2)＞f(x1)
即：在(-1,1)定义域内，f(x)是增函数。

Answer 2

已知f(x)=(ax+b)/(1+x^2)是定义在(-1，1)上的奇函数
f(0)=0 b=0
f(1/2)=2/5 a=1
f(x)=x/(1+x^2)
设-1<x1<x2<1
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)=(x2-x1)/((1+x2^2)(1-x2^2)>0
f(x2)>f(x1) 增函数