Question

如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点

D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；2）线段BC上有一动点P，过P点做作Y轴平行线，交抛物线于Q，求线段PQ最大值　　　　　　　　3）若点e在X轴上，点F在抛物线上，是否存在以C．D．E．F为顶点且以CD为一边的平行四边形？若存在说明理由

Answer 1

试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；
（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；
（2）∵y=﹣x2+x+2，

∴y=﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴是x=．
∴OD=．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=CP2=CP3=CD．
作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，
∴DP1=4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；
（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣1，x2=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），
∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，
=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），
=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．
=﹣（a﹣2）2+
∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，
∴E（2，1）．

Answer 2

（1）将A（-1,0），C（0,2）
分别代入y=-x²+mx+n
0=-1-m+2，m=1，n=2
∴y=-x²+x+2.
（2）由B（2,0），C（0,2）确定方程Lbc：y=-x+2
P（x，-x+2），Q（x，-x²+x+2）
QP=（-x²+x+2）-（-x+2）
=-（x²-2x+1）+1
=-（x-1）²+1
当x=1时，有最大值QP=1，
（3）D（1/2,0）
y=2时，-x²+x+2=2，
x1=0，x2=1，
F（1,2）CF=1，
∴DE=CF，E（3/2,0）
即四边形CDEF是平行四边形。