Question

微分中值定理

设f（x）在[0,1]连续 在（0,1）内可导 且f（1）-f（0）等于1 求证 存在p属于（0,1）使得f'（p）等于2p

Answer 1

也许是你用的书写得太简略，或者是你自己跳过了诸如凹凸性，单调性，极值等问题的严格推导。

首先从几何的角度讲，中值定理可以用来描述几何直观，比如Rolle定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理的几何意义都是“存在与割线平行的切线”，Taylor中值定理的几何意义则比较复杂，可以理解成用高次曲线而非直线去代替割线。

你只要去看一下单调性凹凸性等你认为特别有用的性质的具体讨论就会发现这些几何上很直观的性质严格证明并不容易，或者通俗地讲就是很多看着很显然的东西在逻辑上讲不清楚，而中值定理恰好可以把那些困难的地方给克服了，很好地把几何直观讲清楚，这样才把导数和那些实用的性质联系起来。你不妨自己证明一下f'(x)在区间(a,b)上恒大于0，那么f(x)在(a,b)上严格单调递增，如果不用中值定理的话这个证明是很困难的(当年华罗庚先生曾试图回避中值定理，但是也没能完全做到这一点)。

从数学本身来讲，存在性的定理基本上是最重要的，中值定理无一例外的都是存在性定理，并且其技术价值也远不止表述几何直观那样简单，基本上可以说第一代微积分的大厦至少有一半是由各种中值定理（包括积分中值定理）来搭建的，第二代微积分主要弥补了逻辑基础上的不足，从实用性上则没有太多的改进。目前有学者在研究回避极限和中值定理的第三代微积分，不过个人认为那只是为了让非数学专业的初学者更快入门，用不等式来代替等式总不会是万能的。