Question

已知函数 f(x)= 2 x - a 2 x （a∈R），将y=f（x）的图象向右平移两个单位，得到函数y

已知函数 f(x)= 2 x - a 2 x （a∈R），将y=f（x）的图象向右平移两个单位，得到函数y=g（x）的图象，函数y=h（x）与函数y=g（x）的图象关于直线y=1对称．（Ⅰ）求函数y=g（x）和y=h（x）的解析式；（Ⅱ）若方程f（x）=a在x∈[0，1]上有且仅有一个实根，求a的取值范围；（Ⅲ）设F（x）=f（x）+h（x），已知F（x）＞2+3a对任意的x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得 g(x)=f(x-2)= 2 x-2 - a 2 x-2 ． 设y=h（x）的图象上一点P（x，y），点P（x，y）关于y=1的对称点为Q（x，2-y）， 由点Q在y=g（x）的图象上，所以 2 x-2 - a 2 x-2 =2-y ， 于是 y=2- 2 x-2 + a 2 x-2 ，即 h(x)=2- 2 x-2 + a 2 x-2 ． （Ⅱ）设t=2 x ，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]． 由 2 x - a 2 x =a 得 t- a t =a ，即t 2 -at-a=0在t∈[1，2]上有且仅有一个实根． 设k（t）=t 2 -at-a，对称轴 t= a 2 ． 若k（1）=0，则 a= 1 2 ，两根为 t 1 =1， t 2 =- 1 2 ．适合题意； 若k（2）=0，则 a= 4 3 ，两根为 t 1 =2， t 2 =- 2 3 ．适合题意． 若在（1，2）内有且仅有一个实根，则k（1）?k（2）＜0①或     △=0 1≤ a 2 ≤2 ② 由①得  (1-2a)(4-3a)＜0? 1 2 ＜a＜ 4 3 ； 由②得  a 2 +4a=0 2≤a≤4 无解． 综上可得 a∈[ 1 2 ， 4 3 ] ． （Ⅲ） F(x)=f(x)+h(x)= 3 4 ? 2 x + 3a 2 x +2 ． 由F（x）＞2+3a，化简得 1 4 ? 2 x + a 2 x ＞a ，设t=2 x ，t∈（2，+∞）． 即t 2 -4at+4a＞0对任意t∈（2，+∞）恒成立． 注意到t-1＞1，分离参数得 a＜ t 2 4(t-1) 对任意t∈（2，+∞）恒成立． 设 m(t)= t 2 t-1 ，t∈（2，+∞），即 a＜ 1 4 m(t ) min ， 而 m(t)= t 2 t-1 =(t-1)+ 1 t-1 +2 ． 可证m（t）在（2，+∞）上单调递增． ∴m（t）＞m（2）=4， ∴ a≤ 1 4 ?4=1 ，即a∈（-∞，1]．