Question

已知抛物线y=ax 2 经过点A（2，1） （1）求这个函数的解析式； （2）写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的

已知抛物线y=ax 2 经过点A（2，1） （1）求这个函数的解析式； （2）写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标； （3）求△OAB的面积； （4）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半？若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax 2 经过点A（2，1）， ∴4a=1，解得a= ， ∴这个函数的解析式为y= x 2 ； （2）∵点A（2，1）， ∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（﹣2，1）； （3）∵点A（2，1），B（﹣2，1）， ∴AB=2﹣（﹣2）=2+2=4， S △OAB = ×4×1=2； （4）假设存在点C，且点C到AB的距离为h， 则S△ABC= AB﹒h= ×4h， ∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半， ∴ ×4h= ×2，解得h= ， ①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为1﹣ = ， 此时， x 2 = ，解得x 1 = ，x 2 =﹣ ， 点C的坐标为（ ， ）或（﹣ ， ）， ②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为1+ = ， 此时 x 2 = ，解得x 1 = ，x 2 =﹣ ， 点C的坐标为（ ， ）或（﹣ ， ）， 综上所述，存在点C（ ， ）或（﹣ ， ）或（ ， ）或（﹣ ， ）， 使△ABC的面积等于△OAB面积的一半．