Question

已知函数f（x）在R上为奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+4x．（1）求f（x）的解析式，并写出f（x）的单调区间

已知函数f（x）在R上为奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+4x．（1）求f（x）的解析式，并写出f（x）的单调区间（不用证明）；（2）若f（a2-2）+f（a）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）设 x＜0，则-x＞0
∴f（-x）=（-x）²+4（-x）=x²-4x
又∵f（x）在R上为奇函数
∴f（x）=-f（-x）=-（x²-4x）=-x²+4x
∴f（x）=

?x2+4x，x＜0 x2+4x，x≥0

  单调递增区间是（-∞，+∞）
（2）原不等式等价于：f（a²-2）＜-f（a）
∵f（x）在R上为奇函数
∴上式等价于：f（a²-2）＜f（-a）   ①
又∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递增
①等价于：a²-2＜-a，即a²+a-2＜0，解得：-2＜a＜1
故答案为：（-2，1）