Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率等于 ．（1）求椭圆C的

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率等于 ．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 ， ，求证：λ 1 +λ 2 为定值．

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Answer 1

解：（1）设椭圆C的方程为  ， 则由题意知b=1． ∴  ． ∴a 2 =5 ∴椭圆C的方程为   ． （2）设A、B、M点的坐标分别为A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），M（0，y 0 ）． 又易知F点的坐标为（2，0）． 显然直线l存在的斜率， 设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2）． 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 （1+5k 2 ）x 2 ﹣20k 2 x+20k 2 ﹣5=0． ∴  ． 又∵  ．∴  ．