Question

已知等差数列{an}，Sn为其前n项和，a5=9，S5=25；数列{bn}满足bn＝1an?an+1，Tn为数列{bn}的前n项和，（

已知等差数列{an}，Sn为其前n项和，a5=9，S5=25；数列{bn}满足bn＝1an?an+1，Tn为数列{bn}的前n项和，（Ⅰ）求：an和Tn；（Ⅱ）若对任意的n∈N+，不等式λTn＜n+8(?1)n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）等差数列{a_n}中，∵a₅=9，S₅=25，
∴

a1+4d＝9 5a1+ 5×4 2 d＝25

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
∵bn＝

1

an?an+1

，
∴b_n=

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n?1

?

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

(1?

1

3

+

1

3

?

1

5

+…+

1

2n?1

?

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
（Ⅱ）①当n为偶数时，要使不等式λT_n＜n+8?（-1）ⁿ恒成立，
即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立，
∵2n+

8

n

≥8，等号在n=2时取得．
∴此时λ而满足λ＜25．
②当n为奇数时，要使不等式λT_n＜n+8?（-1）ⁿ恒成立，
即需不等式λ＜

(n?8)(2n+1)

n

＝2n?

8

n

?15恒成立．
∵2n-

8

n

是随n的增大而增大，∴n=1时取得最小值-6，
此时λ需满足λ＜-21．
综合①②得λ＜-21，
∴λ的取值范围是{λ|λ＜-21}．