Question

已知数列{an}满足a1=4，an=4-4an?1（n≥2，n∈N*），令bn＝1an?2（1）求数列{bn}的通项公式；（2）当n∈N

已知数列{an}满足a1=4，an=4-4an?1（n≥2，n∈N*），令bn＝1an?2（1）求数列{bn}的通项公式；（2）当n∈N*时，求证：1b12+1b22+…+1bn2＜8．

Answer 1

（1）b1＝

1

a1?2

＝

1

2

，由bn＝

1

an?2

知an＝

1

bn

+2．
代入已知得

1

bn

+2＝4?

4

an?1

即bn?bn?1＝

1

2

(n≥2)．
故bn＝b1+(n?1)×

1

2

＝

n

2

．
（2）当n≥2时

1

b 2 n

＝

4

n2

＜

4

n(n?1)

=4(

1

n?1

?

1

n

)．
当n=1时，不等式成立
当n≥2时，左边4+4[(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n?1

?

1

n

)]=8?

4

n

＜8．