Question

已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2

已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）记bn=an3n的前n项和为Tn，求证Tn＜54．

Answer 1

解答：（1）解：设公差为d，则∵S₃=12，，即a₁+a₂+a₃=12，∴3a₂=12，∴a₂=4，
又∵2a₁，a₂，a₃+1成等比数列，∴a₂²=2（a₂-d）（a₂+d+1），解得d=3或d=-4（舍去），
∴a_n=a₂+（n-2）d=3n-2；----------------------（6分）
（2）证明：b_n=

an

3n

=（3n-2）?

1

3n

，
∴T_n=1×

1

3

+4×

1

32

+…+（3n-2）?

1

3n

，①
∴

1

3

T_n=1×

1

32

+4×

1

33

+…+（3n-5）?

1

3n

+（3n-2）?

1

3n+1

，②
①-②得，

2

3

T_n=

1

3

+3×

1

32

+3×

1

33

+…+3?

1

3n

-（3n-2）?

1

3n+1

=

5

6

-

1

2

?

1

3n?1

-（3n-2）?

1

3n+1

∴T_n=

5

4

-

6n+5

4

×

1

3n

＜

5

4

．-------------------------（12分）