已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,有f(x)<0,且f(1)=-2 问题如下↓
(1)求f(0)及f(-1)的值;(2)判断函数f(x)的单调性,并加以证明;(3)求解不等式f(2x)-f(x^2+3x)<4...
(1)求f(0)及f(-1)的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并加以证明;
(3)求解不等式f(2x)-f(x^2+3x)<4 展开
(2)判断函数f(x)的单调性,并加以证明;
(3)求解不等式f(2x)-f(x^2+3x)<4 展开
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(1)f(x+y)=f(x)+f(y),那么f(x+0)=f(x)+f(0);即f(x)=f(x)+f(0);即f(0)=0
f(0)=f(1+(-1))=f(1)+f(-1)=0; f(-1)=0-f(1)=0-(-2)=2
(2)由f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)=0;所以f(x)=-f(-x); 所以函数f(x)为奇函数
(3)此为求解x取值范围,不等式化简f(2x)-f(x^2+3x)<4,推出f(2x)-f(x^2)-f(3x)<4, 即f(2x)-f(x^2)-f(2x)-f(x)<4, 即-f(x^2)-f(x)<4;
同时,有f(x)性质可知f(1)=-2, f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-4,f(3)=-6,...f(x)=-2x
所以-f(x^2)-f(x)<4可化简为-2×[-f(x^2)-f(x)]<4, 即2x^2+2x<4, 即x^2+x<2;
x^2+x-2<0, (x-1)(x+2)<0, 根据抛物线性质判断,在x位于(-2,1)区间内不等式成立,即为第(3)题解
f(0)=f(1+(-1))=f(1)+f(-1)=0; f(-1)=0-f(1)=0-(-2)=2
(2)由f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)=0;所以f(x)=-f(-x); 所以函数f(x)为奇函数
(3)此为求解x取值范围,不等式化简f(2x)-f(x^2+3x)<4,推出f(2x)-f(x^2)-f(3x)<4, 即f(2x)-f(x^2)-f(2x)-f(x)<4, 即-f(x^2)-f(x)<4;
同时,有f(x)性质可知f(1)=-2, f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-4,f(3)=-6,...f(x)=-2x
所以-f(x^2)-f(x)<4可化简为-2×[-f(x^2)-f(x)]<4, 即2x^2+2x<4, 即x^2+x<2;
x^2+x-2<0, (x-1)(x+2)<0, 根据抛物线性质判断,在x位于(-2,1)区间内不等式成立,即为第(3)题解
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(1)f(x+y)=f(x)+f(y)
令x=y=0,那么f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0
令x=1,y=-1,那么f(0)=f(1)+f(-1),∴f(-1)=-f(1)=2
(2)设x1>x2,那么x1-x2>0,于是f(x1-x2)<0
而f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)
∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2)
而x1>x2,∴f(x)在R上单调递减
(3)令y=-x,那么f(0)=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x)
∴f(2x)-f(x²+3x)=f(2x)+f[-(x²+3x)]=f(2x-x²-3x)=f(-x²-x)
令x=y=-1,那么f(-2)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=4
∴原不等式变为f(-x²-x)<f(-2)
而f(x)在R上单调递减,∴-x²-x>-2
即x²+x-2<0,即(x-1)(x+2)<0,∴-2<x<1
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令x=y=0,那么f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0
令x=1,y=-1,那么f(0)=f(1)+f(-1),∴f(-1)=-f(1)=2
(2)设x1>x2,那么x1-x2>0,于是f(x1-x2)<0
而f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)
∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2)
而x1>x2,∴f(x)在R上单调递减
(3)令y=-x,那么f(0)=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x)
∴f(2x)-f(x²+3x)=f(2x)+f[-(x²+3x)]=f(2x-x²-3x)=f(-x²-x)
令x=y=-1,那么f(-2)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=4
∴原不等式变为f(-x²-x)<f(-2)
而f(x)在R上单调递减,∴-x²-x>-2
即x²+x-2<0,即(x-1)(x+2)<0,∴-2<x<1
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