Question

已知函数f(x)满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，有f（x）＜0，且f（1）=-2 问题如下↓

（1）求f(0)及f(-1)的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并加以证明；
（3）求解不等式f（2x）-f（x^2+3x）＜4

Answer 1

（1）f(x+y)=f(x)+f(y),那么f(x+0)=f(x)+f(0);即f(x)=f(x)+f(0);即f(0)=0
f(0)=f(1+(-1))=f(1)+f(-1)=0; f(-1)=0-f(1)=0-(-2)=2
(2)由f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)=0;所以f(x)=-f(-x); 所以函数f(x)为奇函数
(3)此为求解x取值范围，不等式化简f(2x)-f(x^2+3x)＜4，推出f(2x)-f(x^2)-f(3x)＜4, 即f(2x)-f(x^2)-f(2x)-f(x)＜4, 即-f(x^2)-f(x)＜4；
同时，有f(x)性质可知f(1)=-2, f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-4,f(3)=-6,...f(x)=-2x
所以-f(x^2)-f(x)＜4可化简为-2×[-f(x^2)-f(x)]＜4, 即2x^2+2x＜4, 即x^2+x＜2;
x^2+x-2＜0, (x-1)(x+2)＜0, 根据抛物线性质判断，在x位于（-2，1）区间内不等式成立，即为第（3）题解

Answer 2

(1)f(x+y)=f(x)+f(y)
令x=y=0，那么f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0
令x=1，y=-1，那么f(0)=f(1)+f(-1)，∴f(-1)=-f(1)=2
(2)设x1>x2，那么x1-x2>0，于是f(x1-x2)<0
而f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)
∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)<0，即f(x1)<f(x2)
而x1>x2，∴f(x)在R上单调递减
(3)令y=-x，那么f(0)=f(x)+f(-x)=0，即f(-x)=-f(x)
∴f(2x)-f(x²+3x)=f(2x)+f[-(x²+3x)]=f(2x-x²-3x)=f(-x²-x)
令x=y=-1，那么f(-2)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=4
∴原不等式变为f(-x²-x)<f(-2)
而f(x)在R上单调递减，∴-x²-x>-2
即x²+x-2<0，即(x-1)(x+2)<0，∴-2<x<1

望采纳

Answer 3