Question

已知，AB是⊙O的直径，AB=8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC=5，PT为⊙O的切线，切点为T．

已知，AB是⊙O的直径，AB=8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC=5，PT为⊙O的切线，切点为T．（1）如图（1），当C点运动到O点时，求PT的长；（2）如图（2），当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：PO ∥ BT；（3）如图（3），设PT 2 =y，AC=x，求y与x的函数关系式及y的最小值．

Answer 1

（1）连接OT ∵PC=5，OT=4， ∴由勾股定理得，PT= PC 2 - OT 2 = 25-16 =3； （2）证明：连接OT，∵PT，PC为⊙O的切线， ∴OP平分劣弧AT， ∴∠POA=∠POT， ∵∠AOT=2∠B， ∴∠AOP=∠B， ∴PO ∥ BT； （3）设PC交⊙O于点D，延长线交⊙O于点E， 由相交弦定理，得CD 2 =AC?BC， ∵AC=x，∴BC=8-x， ∴CD= x(8-x) ， ∴由切割线定理，得PT 2 =PD?PE， ∵PT 2 =y，PC=5， ∴y=[5- x(8-x) ][5+ x(8-x) ]， ∴y=25-x（8-x）=x 2 -8x+25， ∴y 最小 = 100-64 4 =9．