Question

已知函数 f(x)= x-1 x+a +ln(x+1) ，其中实数a≠1．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0）

已知函数 f(x)= x-1 x+a +ln(x+1) ，其中实数a≠1．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．

Answer 1

（1） f′(x)= x+a-(x-1) (x+a ) 2 + 1 x+1 = a+1 (x+a) 2 + 1 x+1 ， 当a=2时，f′（0）= 7 4 ，而f（0）=- 1 2 ， 所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y-（- 1 2 ）= 7 4 （x-0），即7x-4y-2=0． （2）因为a≠1，由（1）可知 f′(1)= a+1 (1+a) 2 + 1 1+1 = 1 a+1 + 1 2 ； 又因为f（x）在x=1处取得极值， 所以 1 a+1 + 1 2 =0 ，解得a=-3； 此时 f(x)= x-1 x-3 +ln(x+1) ，定义域（-1，3）∪（3，+∞）； f′(x)= -2 (x-3) 2 + 1 x+1 = (x-1)(x-7) (x-3) 2 (x+1) ， 由f′（x）=0得x 1 =1，x 2 =7，当-1＜x＜1或x＞7时f′（x）＞0； 当1＜x＜7且x≠3时f′（x）＜0； 由上讨论可知f（x）在（-1，1]，[7，+∞）时是增函数，在[1，3），（3，7]上是减函数．