Question

在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A 1 BC 1 ．（1）如图1，

在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A 1 BC 1 ．（1）如图1，当点C 1 在线段CA的延长线上时，求∠CC 1 A 1 的度数；（2）如图2，连接AA 1 ，CC 1 ，若△CBC 1 的面积为16，求△ABA 1 的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P 1 ，直接写出线段EP 1 长度的最大值与最小值．

Answer 1

(1)60°；（2） ；（3）线段EP 1 长度的最大值为8，EP 1 长度的最小值1．

试题分析：（1）由由旋转的性质可得：∠A 1 C 1 B=∠ACB=30°，BC=BC 1 ，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC 1 A 1 的度数； （2）由△ABC≌△A 1 BC 1 ，易证得△ABA 1 ∽△CBC 1 ，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABA 1 的面积； （3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P 1 在线段AB上时，EP 1 最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P 1 在线段AB的延长线上时，EP 1 最大，即可求得线段EP 1 长度的最大值与最小值． （1）如图1，依题意得：△A 1 C 1 B≌△ACB． ∴BC 1 =BC，∠A 1 C 1 B=∠C=30°． ∴∠BC 1 C=∠C=30°． ∴∠CC 1 A 1 =60°； （2）如图2，由（1）知：△A 1 C 1 B≌△ACB． ∴A 1 B=AB，BC 1 =BC，∠A 1 BC 1 =∠ABC． ∴∠ABA 1 =∠CBC 1 ， ∴△A 1 BA∽△C 1 BC   ∴ ∵S △C1BC ＝3， ∴S △A1BA ＝ ； （3）线段EP 1 长度的最大值为8，EP 1 长度的最小值1． 解题过程如下：①如图a，过点B作BD⊥AC，D为垂足， ∵△ABC为锐角三角形， ∴点D在线段AC上， 在Rt△BCD中，BD=BC×sin30°=6× =3， 当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P 1 在线段AB上时，EP 1 最小，最小值为：EP 1 =BP 1 -BE=BD-BE=3-2=1； ②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P 1 在线段AB的延长线上时，EP 1 最大，最大值为：EP 1 =BC+BE=6+2=8． 综上所述，线段EP 1 长度的最大值为8，EP 1 长度的最小值1．