Question

已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距

已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为 ，求该圆的方程．

Answer 1

(x＋1) 2 ＋(y＋1) 2 ＝2，或(x－1) 2 ＋(y－1) 2 ＝2.

设圆P的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|. 由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为 r. 故2|b|＝ r，得r 2 ＝2b 2 ， 又圆P被y轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r 2 ＝a 2 ＋1，得2b 2 －a 2 ＝1. 又因为P(a，b)到直线x－2y＝0的距离为 ，得d＝ ＝ ，即有a－2b＝±1， 综上所述得 解得 于是r 2 ＝2b 2 ＝2. 所求圆的方程是(x＋1) 2 ＋(y＋1) 2 ＝2，或(x－1) 2 ＋(y－1) 2 ＝2.